2.4 Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas

Axiomas

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.

Axiomas de Kolmogórov

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definido una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", se dice que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.

Para cada suceso A, perteneciente a un espacio muestral E, se define la probabilidad de A (P(A)) como un número que cumple los siguientes axiomas:

1. La probabilidad de cualquier suceso, es siempre mayor o igual que cero: P(A)≥0

2. La probabilidad del espacio muestral es 1: P(E)=1

3. Si tenemos un conjunto de sucesos incompatibles entre sí, entonces la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades. En el caso conjuntos de dos y tres sucesos se expresaría así:

Si tenemos dos sucesos A, B incompatibles (A∩B=Ø) entonces se cumple que P(AυB)= P(A)+ P(B)

Si tenemos tres sucesos A, B, C, incompatibles dos a dos (A∩B=Ø, A∩C=Ø, B∩C=Ø) entonces se cumple que P(AυBυC) = P(A)+ P(B)+ P(C)
Por lo tanto la probabilidad de un suceso será un número comprendido entre 0 y 1 que mide la mayor o menor posibilidad de que ocurra dicho suceso. Cuanto más cerca de 1 es más probable que ocurra, cuanto más cerca de 0 más difícil.

Teoremas de probabilidad

Teorema 1

Si A y A^c son eventos complementarios de un espacio muestral S, entonces:

P(A^c) = 1−P(A)

Demostración:

A∪A^c = S

Como:

1 = P(S)

Entonces:

1 = P(A∪A^c) 1 = P(A) + P(Ac)

P lor o tanto:

P(A^c) = 1−P(A)

Teorema 2

P(∅) = 0

Para un espacio muestral S cualquiera.

Ya que:

S ∪ ∅ = S

De donde podemos deducir:

P(S) = P(S ∪ ∅)

P(S) = P(S) + P(∅)

P(S)− P(S) = P(∅)

Por lo tanto:

P(∅) = 0

Teorema 3

Si A y B son eventos de un espacio muestral S y A ⊂B,

Entonces:

P(A) ≤ P(B)

Teorema 4

Si A y B son dos eventos cualesquiera en el espacio muestral S, entonces:

P(A ∪B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Teorema 5

Si A, B y C son tres eventos cualesquiera de un espacio muestral S, entonces:

    P(A ∪ B ∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C)

Referencias:

Documento electronico: http://herzog.economia.unam.mx/profesores/blopez/estadistica-probabilidad.pdf